ブラック・ショールズ計算ツール

Name: ブラック・ショールズ計算機｜オプション価格とギリシャ指標（無料）
Author: InvestinGoal

ブラック・ショールズ計算ツールは、ヨーロピアン・コールオプションおよびプットオプションの公正な理論価格を見積もり、取引前にオプションの提示プレミアムが割安か割高かを判断できるようにします。原資産のスポット価格、権利行使価格、満期までの日数、ボラティリティ、無リスク金利を入力します。ツールは理論上のコール価格とプット価格に加え、デルタ、ガンマ、シータ、ベガ、ローの5つのオプショングリークスを返します。

スポット価格（S）

権利行使価格（K）

満期までの日数

ボラティリティ（年率）

無リスク金利

コール価格

$10.45

European option · S $100 · K $100 · 365d · 20% IV

プット価格

$5.57

デルタ（コール／プット）

+0.6368 / −0.3632

ガンマ

0.0188

セータ（コール／プット）

−$0.0176 / −$0.0045 per day

ベガ

$0.3752 per 1% IV

ロー（コール／プット）

+$0.5323 / −$0.4189 per 1%

アット・ザ・マネーです。コールは$10.45、プットは$5.57の価値になります。デルタは0.5付近で、原資産が$1動くとオプション価格は約+0.6368動きます。

計算式を表示

d1 = [ln(100/100) + (0.05 − 0.00 + 0.20²/2) × 1] / (0.20·√1) = 0.35

d2 = 0.35 − 0.20·√1 = 0.15

Call = 100·e^(−0.00·1)·N(0.35) − 100·e^(−0.05·1)·N(0.15) = $10.45

監修 Filippo Ucchino InvestinGoal創業者

この結果は教育目的の概算であり、金融・投資・税務に関する助言ではありません。

ブラック・ショールズオプション価格計算ツールとは何ですか？

ブラック・ショールズオプション価格計算ツールとは、ブラック・ショールズモデルを用いて、5つの入力値、すなわち原資産のスポット価格、権利行使価格、満期までの期間、ボラティリティ、無リスク金利から、ヨーロピアン・コールオプションおよびプットオプションの公正な理論価値を算出するツールです。ブラック・ショールズモデルは、これらの入力値を単一の理論価格、つまりモデルの前提のもとでオプションが今日持つべき価値に変換する閉形式の計算式です。このモデルは1973年にフィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズが論文「The Pricing of Options and Corporate Liabilities」で発表し、同年にロバート・マートンが枠組みを拡張しました。この功績は1997年のノーベル経済学賞としてショールズとマートンに授与されました（ブラックは1995年に死去したため対象外）。連続的な配当利回りを加えたバージョンは、ブラック・ショールズ・マートンモデルと呼ばれることが多くあります。2つの価格に加えて、このツールは5つのオプショングリークス、つまり各入力値が動いたときに価格がどう反応するかを示す感応度を返します。これが、単一のヨーロピアン契約を扱うオプション取引において、一度の計算で7つの出力が得られる理由です。

ブラック・ショールズ計算ツールが取引においてなぜ重要なのですか？

ブラック・ショールズ計算ツールが取引において重要なのは、オプションを売買する前に、公正な理論価値とリスク感応度をトレーダーに提示し、提示されたプレミアムを鵜呑みにするのではなく判断材料に変えられるからです。オプションの価格は原資産の価格だけからは自明ではありません。スポット価格、権利行使価格、残存期間、ボラティリティ、金利という要素を1つの数値にまとめ込んでいるため、モデルがなければ画面上のプレミアムが公正価値に対して割安か割高かを判断する方法がありません。この5つの入力値から契約を価格付けすることで、計算ツールは意思決定の場面で最も重要な問い、すなわち、これから引き受けようとしているリスクに対して市場が公正な価格を求めているかどうかに答えます。トレーダーは注文を出す前にこのツールを使います。ライブの気配値を理論価格と比較するため、ボラティリティ、時間、金利が動いた場合に価値がどう反応するかを確認するため、そして保有後にポジションを動かすことになるグリークスを理解するためです。まず公正価値を確認するというこの姿勢は、レバレッジ商品を扱う責任あるオンライントレードに求められるリスク重視の習慣そのものです。

ブラック・ショールズ計算ツールの使い方は？

ブラック・ショールズ計算ツールを使うには、スポット価格、権利行使価格、満期までの日数、ボラティリティ、無リスク金利を入力します。ツールは理論上のコール価格とプット価格に加えて5つのグリークスを返します。

ブラック・ショールズ計算ツールの使用手順は以下のとおりです。

スポット価格を入力します。 これは原資産となる株式や指数の現在の市場価格で、計算式ではSと表記されます。
権利行使価格を入力します。 これはオプションを行使できる価格で、Kと表記され、スポット価格を測る基準となります。
満期までの日数を設定します。 これはオプションが満期を迎えるまでの暦日数で、ツールはこれを1年に対する割合に変換します。
ボラティリティを入力します。 これは原資産の予想年率ボラティリティをパーセンテージで示したもので、通常は市場が織り込んでいるインプライドボラティリティを使います。
無リスク金利を入力します。 これは短期国債など安全資産の年率金利で、パーセンテージで入力します。

詳細設定では、配当を出す株式や指数について配当利回りを追加したり、日数計算基準を暦日365日と取引日252日の間で切り替えたり、通貨を設定したりできます。このツールはコールとプットの切り替えスイッチを持ちません。一度にその両方を計算し、計算するを押すたびにすべての出力を再計算するためです。

ブラック・ショールズ計算ツールが使う計算式は？

ブラック・ショールズ計算ツールが使う計算式は、2つの中間項d1とd2を累積正規分布に通し、割引後のスポット価格と権利行使価格を組み合わせることで、コールとプットの価格を算出するブラック・ショールズの計算式です。

d_{1} = \frac{\ln (S / K) + (r - q + σ^{2} / 2) T}{σ \sqrt{T}}

d_{2} = d_{1} - σ \sqrt{T}

Call = S e^{- q T} N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})

Put = K e^{- r T} N (- d_{2}) - S e^{- q T} N (- d_{1})

これらの式において、Sはスポット価格、Kは権利行使価格、Tは満期までの期間を年単位で表したもの（日数を計算基準で割った値）、σ（シグマ）はボラティリティ、rは無リスク金利、qは配当利回りです。N()は累積正規分布であり、N(d2)はおおまかに言えばコールがイン・ザ・マネーで満期を迎えるリスク中立確率にあたります。アット・ザ・マネーで満期1年のケースを当てはめると、d1 = [ln(100/100) + (0.05 − 0 + 0.20²/2) × 1] / (0.20 × √1) = 0.35となります。ブラウザには確率表がないため、このツールはN(d)を標準的な多項式近似（Abramowitz and Stegun 26.2.17）で計算しており、精度は1000万分の1を上回ります。この計算式はヨーロピアンオプションにのみ有効であり、オプションの残存期間中はボラティリティと金利が一定であることを前提としています。

ブラック・ショールズ計算の例は？

ブラック・ショールズ計算の例として、アット・ザ・マネーで満期1年のコールオプションが$10.45の価値を持つケースを見てみましょう。計算の流れは以下のとおりです。

d1とd2。 スポット価格$100、権利行使価格$100、期間1年、ボラティリティ20%、金利5%とすると、T = 1、σ√T = 0.20となり、d1 = (0 + (0.05 + 0.02) × 1) / 0.20 = 0.35、d2 = 0.35 − 0.20 = 0.15となります。
正規分布の確率。 N(0.35) = 0.6368、N(0.15) = 0.5596であり、割引係数はe^(−0.05) = 0.9512です。
コール価格 = 100 × 0.6368 − 100 × 0.9512 × 0.5596 = 63.68 − 53.23 = $10.45。
プット価格 = $5.57。これはプット・コール・パリティ、Call − Put = S × e^(−qT) − K × e^(−rT)から導かれます。

このシナリオは配当なしでアット・ザ・マネーに設定されたヨーロピアンオプションであり、計算ツールはコールに$10.45、プットに$5.57を返します。これは手計算のワークド・イグザンプルと同じ2つの数値です。

ブラック・ショールズ計算ツールの結果はどう読めばよいですか？

ブラック・ショールズ計算ツールの結果を読むには、コール価格とプット価格を並べて確認し、次にマネーネス（スポット価格を権利行使価格で割った比率、S/K）とデルタを確認します。これらを合わせて見ることで、オプションが今どのような状態にあり、どう振る舞うかがわかります。マネーネスは価格のうちどれだけが本質的価値で、どれだけが時間的価値かを決め、デルタはオプションが原資産をどれだけ忠実に追随するかを示します。

マネーネス（S/K）	オプションの読み方
約1（2%以内）	アット・ザ・マネー：デルタは0.5付近で、コールとプットはほぼ同じ価格で取引され、価値の大半は時間的価値
1.02超	コールはイン・ザ・マネー：デルタは1に近づき、原資産とほぼ同じ値動きになる。一方プットはアウト・オブ・ザ・マネーで価値はわずか
0.98未満	コールはアウト・オブ・ザ・マネー：価格はすべて時間的価値で、シータによって毎日目減りする

アット・ザ・マネーの例では、デルタ+0.6368は、原資産が$1上昇するごとにコールの価値が約$0.64上昇することを意味し、これはアット・ザ・マネーで組成されたオプションの特徴的な動きです。マネーネスにかかわらず常に当てはまるのは、シータによってオプションの買い手は毎日コストを支払っているという点です。このコールでは1日あたり約$0.0176にあたります。時間の経過はオプションの保有者にとって不利に働くためです。結果は今の時点での公正価値と挙動のスナップショットとして読み、取引を執行する前に市場の気配値と照らし合わせて判断してください。

ボラティリティはブラック・ショールズ計算にどう影響しますか？

ボラティリティはブラック・ショールズ計算に直接影響します。ボラティリティが高いほどコールとプットの両方の価格が上昇するためで、これは価格が最も敏感に反応する入力値であり、ベガというグリークスで測定されます。ボラティリティが高いほど原資産の取りうる結果の幅が広がり、オプションがイン・ザ・マネーで満期を迎える可能性が高まります。これはコール・プットいずれの保有者にとっても価値が高まることを意味します。またボラティリティは単純に調べられる唯一の入力値ではありません。スポット価格、権利行使価格、期間、金利はいずれも観測可能ですが、ボラティリティは予測値です。トレーダーは通常、原資産が過去に示したヒストリカルボラティリティではなく、そのオプションについて市場が既に織り込んでいるインプライドボラティリティを使用します。インプライドボラティリティのほうが将来に対する市場の期待を反映しているためです。これがボラティリティをオプション価格付けにおける最も重要な入力値にしている理由です。入力する数値のわずかな変化が、他のどの項目の同等の変化よりも理論価格を大きく動かすため、正直な市場のボラティリティの見積もりは、このモデルの中で他の何よりも重要になります。

ブラック・ショールズ計算ツールの限界は？

ブラック・ショールズ計算ツールの主な限界は、市場価格ではなく理論上の見積もりを算出するものであり、その見積もりの精度は入力するボラティリティの精度に依存する点です。このモデルはクリーンで理想化されたオプションを価格付けするため、実際の市場が持ついくつかの特徴はモデルの外に置かれています。ビッドアスクスプレッドを無視しているため、計算ツールが示す単一の公正価値で実際に取引できるわけではありません。すべての権利行使価格にわたって一定のボラティリティを前提としていますが、実際の市場はこれと矛盾するボラティリティスキュー（またはスマイル）を示します。これは権利行使価格や満期によってインプライドボラティリティが異なる現象で、Hullの「Options, Futures, and Other Derivatives」でも詳しく取り上げられているよく知られた乖離です。配当については、実際に特定の日に支払われる離散配当ではなく、滑らかな連続的利回りとして扱います。また価格付けの対象は満期時にのみ行使できるヨーロピアンオプションのみであり、米国の個別株オプションで一般的なアメリカンオプションが持つ早期権利行使の価値を捉えることができません。アメリカンオプションは代わりに、Cox、Ross、Rubinstein が1979年に提唱した二項ツリーモデルで価格付けされます。さらに金利が一定であることも前提としており、また取引が良い判断かどうかについては何も示しません。このツールの出力は、気配値と比較するための十分な根拠を持つ参照値として扱うべきであり、支払うまたは受け取る金額の保証ではありません。教育目的の情報であり、投資助言ではないことも念頭に置いてください。

ブラック・ショールズ計算ツールは5つのオプショングリークスをどう計算しますか？

ブラック・ショールズ計算ツールは、デルタ、ガンマ、シータ、ベガ、ローという5つのオプショングリークスを計算します。それぞれが、他の入力値を固定した状態で1つの入力値が動いたときにオプション価格がどう反応するかを測定します。これらはこの計算ツールの複数出力という特徴を象徴するものであり、これらを読み解くことで、保有後にそのポジションがどう振る舞うかがわかります。

グリークス	値（アット・ザ・マネーの例）	測定するもの
デルタ	コール+0.6368／プット−0.3632	原資産が$1動いたときにオプション価格が動く幅
ガンマ	0.0188	原資産が$1動いたときにデルタ自体が変化する幅（コールとプットで共通）
シータ	コール−$0.0176／日、プット−$0.0045／日	時間の経過とともにオプションが1日あたりに失う価値
ベガ	インプライドボラティリティ1%上昇あたり$0.3752	ボラティリティが1ポイント上昇したときの価格変化（コールとプットで共通）
ロー	コール+$0.5323／プット−$0.4189（金利1%あたり）	金利が1ポイント上昇したときの価格変化

これらは感応度として読み取ってください。デルタが0.5付近であればアット・ザ・マネーの目印であり、コールがイン・ザ・マネーに動くにつれて1に近づいていきます。ガンマはそのデルタがどれだけ速く変化するかを測るため、権利行使価格付近かつ満期が近いほど大きくなります。シータは時間的価値の目減りを日単位で示すコストであり、満期が近づくほど加速します。一方ベガは、インプライドボラティリティが1ポイント上昇するとこのオプションの価格に約$0.38が上乗せされることを示し、ボラティリティが価格を動かす最大の要因であることを裏付けています。ローは通常5つのうちで最も小さく、満期までの期間が長いオプションほど重要になります。ガンマとベガはコールとプットで同一の値になりますが、デルタ、シータ、ローは両サイドで符号が反対になります。これが計算ツールが両方を表示する理由です。

ブラック・ショールズ計算とオプション利益計算の違いは？

ブラック・ショールズ計算とオプション利益計算の違いは、何を測定し、いつ測定するかにあります。ブラック・ショールズ計算は満期前の現時点でのオプションの公正な理論価値を示すもので、ボラティリティ、時間、金利によって決まります。一方オプション利益計算は満期時点でのポジションの損益を示すもので、原資産が権利行使価格に対してどこで着地するかだけによって決まります。

項目	ブラック・ショールズ計算	オプション利益計算
測定するもの	オプションの公正な理論価値	ポジションの損益
タイミング	満期前の現時点	満期時点
オプションの価値の内訳	本質的価値＋時間的価値	本質的価値のみ
数値を左右する要因	ボラティリティ、時間、金利	権利行使価格に対する原資産価格とプレミアム

実務上の違いは、この2つのツールが異なる問いに答え、同じオプションについて異なる数値を返す点です。ブラック・ショールズは、提示されたプレミアムを判断できるよう、今日その契約がいくらの価値を持つべきかを示します。一方オプション利益計算は、満期時に原資産が特定の価格に到達した場合にポジションがいくら儲かる、あるいは損をするかを示します。取引を始める前にオプションを価格付けするにはこの計算ツールを使い、出口を検討する段階になったらペイオフを把握するために利益計算ツールを使います。

ブラック・ショールズ計算ツールに関連する計算ツールは？

ブラック・ショールズ計算ツールに関連する計算ツールは、契約の満期前の公正価値から、ポジションを終えた後に残る損益まで、同じオプションの価格付けと利益のワークフローに位置づけられます。

ブラック・ショールズ計算ツールに関連する計算ツールは以下のとおりです。

オプション利益計算ツール：オプションポジションの満期時点での損益を算出します。この価格付けツールが扱わないペイオフ側の計算です。
カバードコール計算ツール：原資産を保有しながらそれに対してコールを売却する、オプション取引への一般的な第一歩となるインカム戦略をモデル化します。
株式利益計算ツール：オプションが付加するレバレッジを伴わない、原資産の株式そのものの損益を計算します。
パーセンテージ利益計算ツール：結果をパーセンテージでのリターンとして表現し、リスクにさらしたプレミアムに対するオプションの成果を比較する際に役立ちます。

FAQ

ブラック・ショールズモデルとは何ですか？

ブラック・ショールズモデルは、1973年に発表された計算式で、スポット価格、権利行使価格、満期までの期間、ボラティリティ、無リスク金利から、ヨーロピアン・コールオプションまたはプットオプションの公正な理論価格を見積もります。オプショングリークスも算出します。算出される値は理論値であり、リアルタイムの市場気配値ではないため、実際の取引価格とは異なります。

ブラック・ショールズの計算式におけるd1とd2とは何ですか？

d1とd2は、ブラック・ショールズの計算式が正規分布に投入する2つの中間項です。d1 = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)T] / (σ√T)、d2 = d1 − σ√Tです。これらの確率N(d1)とN(d2)は価格の中でスポット価格と権利行使価格に重み付けを行い、N(d2)はおおまかに言えばコールがイン・ザ・マネーで満期を迎えるリスク中立確率にあたります。アット・ザ・マネーで満期1年の例では、d1 = 0.35、d2 = 0.15となります。

ブラック・ショールズ計算ツールはアメリカンオプションにも使えますか？

いいえ。ブラック・ショールズ計算ツールは、満期時にのみ行使できるヨーロピアンオプションを価格付けします。米国の個別株オプションで一般的なアメリカンオプションはどの日にでも行使できるため、その分だけ価値が高くなり、代わりに二項ツリーモデルで価格付けされます。ただし配当を出さない株式のアメリカンコールについては、ブラック・ショールズでも近い近似値が得られます。

なぜ証券会社のオプション価格はブラック・ショールズの結果と異なるのですか？

ブラック・ショールズが理論価格を示すのに対し、市場はそうではないためです。実際の気配値にはビッドアスクスプレッドがあり、インプライドボラティリティは権利行使価格によって異なります（ボラティリティスキュー）。配当は滑らかな利回りではなく特定の日にまとめて支払われ、米国の個別株オプションはこの計算式が考慮しない早期権利行使の価値を持つアメリカンタイプです。このモデルは比較対象となる公正価値を示すものであり、正確な取引価格そのものではありません。

ブラック・ショールズモデルは今日でも使われていますか？

はい。ブラック・ショールズモデルは1973年の発表から50年以上を経た今もオプション価格付けの基準となる枠組みであり、多くの取引プラットフォームに表示される理論価格とグリークスの土台になっています。トレーダーはその出力を基準値として扱い、ボラティリティスキューや早期権利行使など、モデルが考慮しない市場の実態に応じて調整を加えます。モデルそのものを使わなくなるわけではありません。

このツールは教育目的であり、投資助言ではありません。ブラック・ショールズモデルはヨーロピアンオプションの理論価格を示すものであり、実際の市場価格はビッドアスクスプレッド、ボラティリティスキュー、離散配当、早期権利行使の影響で異なります。オプション取引には、支払ったプレミアム全額を失う可能性を含む高いリスクが伴います。